《多元函数的无条件极值》内容小结、题型与典型题

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1．极值的定义

定义设n元函数f(X)在X₀的某邻域内有定义，如果对于该邻域内任何异于X₀的点X，都有　

f(X)<f(X₀)，

则称函数f(X)在点X₀处取得极大值f(X₀)，称点X₀为f(X)的极大值点；

如果对于该邻域内任何异于X₀的点X，都有

f(X)>f(X₀)，

则称函数f(X)在X₀处取得极小值f(X₀)，称点X₀为f(X)的极小值点．

2．可微函数取极值的必要条件

定理设n元函数f(X)在点X₀处对各个自变量的一阶偏导数都存在，且在点X₀处取极值，则有

(1) 点X₀称为函数f(X)的驻点或稳定点，所以具有一阶偏导数的n元函数，其极值点必定是驻点．

(2) 假设函数f(X)在X₀处可微，X₀为f(X)的驻点，如果在X₀的任何邻域内既存在函数值大于f(X₀)的点也存在函数值小于f(X₀)的点，即X₀不为极值点，则称X₀为函数f(X)的鞍点。

(3) 可微函数z=f(x,y)在极值点(x₀,y₀)处有水平切平面，且切平面方程为

3．可微函数取极值的充分条件

定理设n元函数f(X)在点X₀处具有二阶连续偏导数，且

记H(X₀)为f(X)在点X₀处的黑塞矩阵．

(1) 如果H(X₀)正定，则X₀为f(X)的极小值点；

(2) 如果H(X₀)负定，则X₀为f(X)的极大值点；

(3) 如果H(X₀)不定，则X₀为f(X)的鞍点；

(4) 其他情况需要另行判定(半正定，半负定)．

4．二元函数极值判定的充分条件

定理 设二元函数z=f(x,y)在(x₀,y₀)处具有二阶连续的偏导数，且

并记

则有

(1) 如果A>0，且AC-B²>0，则f(x,y)在(x₀,y₀)处取极小值；

(2) 如果A<0，且AC-B²>0，则f(x,y)在(x₀,y₀)处取极大值；

(3) 如果AC-B²<0，则f(x,y)在(x₀,y₀)处不取极值．

(4) 其他情况需要另行判定。

5．实对称矩阵的正定性相关定义及判定

(1) 实对称矩阵正定的充要条件是它的各阶主子式都大于零；即

(2) 实对称矩阵负定的充要条件是它的奇数阶主子式小于零，偶数阶主子式大于零，即

(3) 实对称矩阵正定：所有特征根大于零。

(4) 实对称是半正定矩阵的充要条件是它的所有主子式都大于等于0。

(5) 实对称是半负定矩阵的充要条件是它的所有奇数阶主子式都小于等于0，并且它的所有偶数阶主子式都大于等于0；

(6) 如果实对称A既不是半正定的，也不是半负定的，就称A为不定矩阵。

6．无条件极值的计算判断步骤

无条件极值问题是指目标函数只有定义域(自然定义域或实际定义域)范围限制的极值问题，其计算步骤可以概括为如下几步：

第一步：求出所有可能的极值点

令梯度等于零求出所有驻点坐标和导数不存在的点坐标，一般对于初等多元函数只需要考虑驻点.

第二步：驻点判定是否取到极值

(1) 对于驻点，二阶导数存在时，采用充分条件判定驻点是否取到极值，取到极值时计算相应的函数值；

(2) 对于充分条件判定失败的驻点和导数不存在的点，极值的判定采用定义法进行判定，如果判定点不为极值点，还可以考虑特殊路径法来判定函数不取到极值，即在点的任意邻域内总有大于函数值的点，也有小于函数值的点存在，则函数不取极值.

参考课件节选

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